Görüntü elde etme, örnekleme, renk ve geometri

2.1Görüntü oluşumu

Basit bir görüntü oluşum modeli üç adımdan oluşur:

1. Sahne tek bir kaynakla aydınlatılır.
2. Sahne ışınımı kameraya doğru yansıtır.
3. Kamera bu ışınımı algılar: eskiden filmdeki kimyasallarla, bugün sensör dizisiyle.

İğne deliği kamera

Benzer üçgenlerden, sahnedeki $(X, Y, Z)$ noktasının görüntü düzlemindeki izdüşümü (odak uzaklığı $f$):

Eksi işareti ters çevrilmeyi, $1/Z$ çarpanı ise perspektifi gösterir: uzaktaki nesneler küçük görünür. Pratikte daha fazla ışık almak için açıklık büyütülür. Bu durumda her sahne noktasından gelen ışın demetini görüntü düzlemindeki tek bir noktaya odaklamak için açıklığa bir mercek yerleştirilir.

Dijital kamerada görüntü oluşumu

2.2Görüntü elde etme ve sensörler

Görüntüler genellikle bir sahneyi aydınlatıp nesnelerin yansıttığı enerjiyi soğurarak üretilir. Ancak “aydınlatma” ve “sahne” kavramları sıradan anlamlarının çok dışında olabilir: iskeletin X-ışını görüntüsü, anne karnındaki bebeğin ultrasonu, moleküllerin elektron mikroskobu görüntüleri…

Gelen enerji, o enerji türüne duyarlı bir sensör malzemesine çarpar ve bir gerilim üretir. Bu gerilim sayısallaştırılır. Sensörler üç şekilde düzenlenebilir:

CCD (yük bağlaşımlı aygıt)

CCD (charge-coupled device): küçük katı hal hücreleri ışık enerjisini elektrik yüküne çevirir. Görüntü düzlemi, bilgisayarın satır satır okuyabildiği dijital bir bellek gibi davranır. Yapısı:

• Fotositeler (photosites): ışığı toplayan hücreler.
• Dikey taşıma kaydedicileri: yükleri satır satır aşağı kaydırır.
• Yatay taşıma kaydedicisi: en alttaki satırı alır ve yükleri tek tek çıkışa kaydırır.
• Çıkış kapısı ve yükselteç: her yükü gerilime çevirir.

2.3Örnekleme ve nicemleme

Dijital sensör yalnızca sınırlı sayıda örneği, ayrık bir enerji seviyeleri kümesinde ölçebilir. Dijital görüntü bu yüzden gerçek dünya sahnesinin her zaman yalnızca bir yaklaşıklığıdır.

Sensör, pikselin kapladığı küçük karedeki sürekli görüntünün ortalamasını ölçer (slaytta: “take the average within each square”). Piksel kenarı $\Delta$ ise:

Nicemlemede, sürekli değerler sonlu ve ayrık bir renk kümesine eşlenir. 8 bitlik bir değeri $k$ bite indiren düzgün nicemleyici örneğin $q = \lfloor r / 2^{8-k} \rfloor$ şeklindedir.

2.4Uzamsal ve yoğunluk çözünürlüğü

Uzamsal çözünürlük

Görüntünün uzamsal çözünürlüğü örneklemenin nasıl yapıldığıyla belirlenir. Kısaca ayırt edilebilen en küçük ayrıntıdır.

• Birim uzaklık başına çizgi çifti (line pairs) veya birim uzaklık başına nokta (piksel) sayısıyla ölçülür. Görüntü işlemciler piksel boyutundan, grafik tasarımcılar dpi'den (inç başına nokta) söz eder.
• Baskı örnekleri (G&W): gazete ~75 dpi, dergi ~133 dpi, parlak broşür ~175 dpi, ders kitabı sayfası ~2400 dpi.

Yoğunluk (gri seviye) çözünürlüğü

Görüntüyü temsil etmek için kullanılan yoğunluk seviyesi sayısıdır. Ne kadar çok seviye kullanılırsa o kadar ince ayrıntı seçilebilir. Genellikle her seviyeyi saklamak için kullanılan bit sayısıyla verilir.

Slaytlardaki G&W Şekil 2.22 (az ayrıntılı kadın yüzü, orta ayrıntılı kameraman, çok ayrıntılı kalabalık) bir gözlemi gösterir: çok ayrıntı içeren görüntülerde daha az gri seviye yeterlidir. Kitaptaki “eş tercih eğrileri” (isopreference curves) bunu ölçer.

Ne kadar çözünürlük yeterli?

Görüntünün içeriğine ve onunla ne yapılacağına bağlıdır. Görüntü estetik açıdan hoş görünüyor mu? Görmek istediğiniz şeyi görebiliyor musunuz? Slayttaki trafik görüntüsü araçları saymak için yeterlidir ama plakayı okumak için değildir.

2.5Nyquist oranı, örtüşme ve Moiré

Her sinyal farklı frekanslardaki sinüs ve kosinüslerin doğrusal bir birleşimi olarak yazılabilir (Fourier, Hafta 5). Fiziksel nedenlerle gerçek dünyadaki her sinyalin en yüksek bir frekans bileşeni vardır.

Daha düşük hızla örneklenirse (alt örnekleme, undersampling) örtüşme (aliasing) olur: örneklenmiş sinyalde, orijinalde bulunmayan frekanslar belirir. $f$ frekanslı bir bileşen $f_s$ ile örneklendiğinde, $f_s/2$'nin altına “katlanan” takma frekans:

Moiré deseni

Moiré deseni örtüşmenin görünür bir örneğidir (G&W Şekil 2.24). Neredeyse eş aralıklı iki periyodik desen üst üste geldiğinde, desenlerin hiçbirinde bulunmayan düşük frekanslı yeni bir desen belirir. Taranmış gazete fotoğraflarında ve televizyonda çizgili gömleklerde görülür.

2.6İnterpolasyon: büyütme ve küçültme

Büyütme iki adımdır: önce yeni piksel konumları oluşturulur, sonra bu konumlara yoğunluk atanır. Yeni konumlar eski ızgaraya göre genellikle tamsayı olmayan koordinatlara düşer.

En yakın komşu (nearest neighbor)

Her yeni piksele, giriş görüntüsünde en yakın pikselin değeri atanır. Tamsayı katlı büyütmede bu, satır ve sütunların tekrarlanmasıdır: piksel çoğaltma (pixel replication). Basit ve hızlıdır ama bloklu/dama tahtası artefaktları üretir, keskinlik kaybolur.

Çift doğrusal (bilinear)

4 en yakın komşu kullanılır, sonuç çok daha iyidir. Genel biçim $v(x,y) = ax + by + cxy + d$; dört katsayı dört komşudan bulunur. Slayttaki biçimiyle, $P(1,1)$ sol üst komşu, $d$ yatay ve $d'$ dikey kesirli uzaklık ($0 \le d, d' \lt 1$) olmak üzere:

Çift kübik (bicubic)

16 en yakın komşu (4×4) kullanılır:

16 katsayı, dört köşedeki değerler, türevler ($f_x$, $f_y$) ve çapraz türevlerden ($f_{xy}$) kurulan 16 denklemle bulunur. Görüntüler en keskin bu yöntemle elde edilir ve ince ayrıntılar korunur, ama yöntem yavaştır. Ticari yazılımların çoğunda standart yöntemdir.

Küçültme

Küçültme alt örneklemeyle yapılır (satır ve sütun silme). G&W Şekil 2.19'da 1024×1024'lük görüntü 32×32'ye kadar küçültülür. Şekil 2.20'de bu görüntüler piksel çoğaltmayla tekrar 1024×1024'e büyütülür ve ayrıntı kaybı ile dama tahtası etkisi açıkça görülür. Alt örnekleme örtüşmeye yol açabileceği için önce hafif bir bulanıklaştırma yapmak iyi bir uygulamadır.

B = imresize(I, 4, 'nearest');     % piksel çoğaltma
B = imresize(I, 4, 'bilinear');
B = imresize(I, 4, 'bicubic');     % varsayılan yöntem
S = imresize(I, 0.25);              % küçültürken varsayılan olarak örtüşme önleyici filtre uygulanır
S = I(1:4:end, 1:4:end);           % filtresiz alt örnekleme (satır/sütun atma)

2.7Pikseller arası temel ilişkiler

Komşuluk

$(x,y)$ konumundaki bir $p$ pikselinin üç tür komşuluğu vardır:

• $N_4(p)$, 4-komşular: yatay ve dikey komşular $(x\pm1, y)$, $(x, y\pm1)$. Her biri $p$'ye birim uzaklıktadır.
• $N_D(p)$, köşegen komşular: $(x\pm1, y\pm1)$.
• $N_8(p) = N_4(p) \cup N_D(p)$, 8-komşular.

$p$ görüntünün kenarındaysa bazı komşular görüntünün dışına düşer.

Bitişiklik

$V$, bitişikliği tanımlamak için kullanılan değerler kümesi olsun. İkili görüntüde $V = \{1\}$, gri tonlu görüntüde ör. $V = \{50, \ldots, 60\}$ olabilir. Değerleri $V$'de olan iki piksel $p$ ve $q$ için:

m-bitişikliğin amacı: 8-bitişiklikte ortaya çıkan belirsizliği (aynı iki piksel arasında birden fazla yol, “üçgen” bağlantılar) ortadan kaldırmaktır. Bu belirsizlik bölge ve sınır tanımlarını ve yol hesaplarını karıştırır. m-bitişiklik, 4-yoldan gidilebiliyorsa köşegen bağlantıyı kullanmaz.

Yol, bağlantılılık, bölge ve sınır

• Yol (path, digital curve): $p = (x,y)$'den $q = (s,t)$'ye, ardışık her iki pikselin bitişik olduğu farklı piksellerden oluşan dizi: $(x_0,y_0), (x_1,y_1), \ldots, (x_n, y_n)$, burada $(x_0,y_0) = (x,y)$ ve $(x_n,y_n)=(s,t)$. $n$ yolun uzunluğudur. $(x_0,y_0) = (x_n,y_n)$ ise yol kapalıdır. Kullanılan bitişikliğe göre 4-, 8- veya m-yol denir.
• Bağlantılılık: $S$ bir piksel alt kümesi olsun. $p$ ile $q$ arasında tamamen $S$ içinde kalan bir yol varsa ikisi $S$ içinde bağlıdır. Bunun için iki koşul gerekir: pikseller komşu olmalı ve gri seviyeleri benzerlik ölçütünü (ör. eşitlik) sağlamalıdır.
• Bağlı bileşen: $S$'deki bir piksele bağlı tüm piksellerin kümesi. $S$'nin tek bir bağlı bileşeni varsa $S$'ye bağlı küme denir.
• Bölge: $R$ bağlı bir küme ise $R$ bir bölgedir. $R_i \cup R_j$ bağlı bir küme oluşturuyorsa iki bölge bitişiktir, aksi halde ayrıktır (4- ya da 8-bitişiklik belirtilmelidir).
• Sınır (kenarlık, kontur): $R$'deki pikseller arasında, $R$'de olmayan en az bir komşusu bulunanların kümesi. Bu tanım iç sınırı verir; arka plandaki karşılığına dış sınır denir. $R$ tüm görüntüyse sınırı ilk ve son satır ile sütunlardır.
• Kenar ve sınır farkı: sınır, bitişik piksellerle tanımlanan küresel bir kavramdır ve kapalı bir yol oluşturur. Kenar yereldir; gri seviyede belirgin bir geçişi, yani yoğunluk süreksizliğini gösterir. İkisi örtüşebilir de örtüşmeyebilir de (ikili görüntülerde örtüşürler).

Uzaklık ölçüleri

$p=(x,y)$, $q=(s,t)$, $z=(v,w)$ pikselleri için $D$ bir uzaklık fonksiyonu (metrik) ise:

1. $D(p,q) \ge 0$; $D(p,q) = 0 \iff p = q$
2. $D(p,q) = D(q,p)$ (simetri)
3. $D(p,z) \le D(p,q) + D(q,z)$ (üçgen eşitsizliği)

$D_4$ ve $D_8$ pikseller arasında bir yol olup olmamasına veya piksel değerlerine bağlı değildir, yalnızca koordinatlara bağlıdır. $D_m$ uzaklığı ise iki nokta arasındaki en kısa m-yolun uzunluğudur ve yol üzerindeki piksellerin değerlerine bağlıdır.

D  = bwdist(BW, 'cityblock');    % en yakın 1-pikseline D4 uzaklığı
D  = bwdist(BW, 'chessboard');   % D8 ('euclidean' → De)
CC = bwconncomp(BW, 4);           % 4-bağlı bileşenler (8-bağlı için 8)
L  = bwlabel(BW, 8);              % bileşenleri 1, 2, 3, ... ile etiketle

2.8Küme, mantık ve aritmetik işlemler

Küme ve mantık işlemleri

Bir görüntüdeki bölge (nesne), o bölgedeki piksellerin koordinatlarından (tamsayı sıralı çiftler) oluşan bir küme olarak gösterilebilir. Temel kavramlar: $a \in A$ (eleman), $A = \emptyset$ (boş küme), $A \subseteq B$ (alt küme), $C = A \cup B$ (birleşim), $C = A \cap B$ (kesişim), $A \cap B = \emptyset$ ise ayrık kümeler, evrensel küme, tümleyen $A^c = \{w \mid w \notin A\}$, fark $A - B = \{w \mid w \in A,\ w \notin B\} = A \cap B^c$.

İkili görüntülerde bu işlemlerin karşılığı mantık işlemleridir: birleşim → OR, kesişim → AND, tümleyen → NOT; ayrıca XOR (yalnızca birinde olanlar).

Aritmetik işlemler

Görüntüler arasındaki aritmetik işlemler dizi (eleman eleman) işlemleridir; karşılık gelen piksel çiftleri arasında yapılır, matris çarpımı değildir:

• Toplama ve ortalama: $K$ adet gürültülü görüntünün ortalaması gürültüyü azaltır. Astronomide çok kullanılır.
• Çıkarma: iki görüntü arasındaki farkları bulmak, ör. değişim tespiti veya tıpta maske modlu radyografi (kontrast madde öncesi ve sonrası).
• Çarpma ve bölme: gölgelenme düzeltme, bir ilgi bölgesini maskeyle seçme.

$g_i(x,y) = f(x,y) + \eta_i(x,y)$ ($\eta_i$: sıfır ortalamalı, ilintisiz, varyansı $\sigma_\eta^2$ olan gürültü) ise ortalama görüntü için:

Doğrusal ve doğrusal olmayan işlemler

Bir $H$ operatörü doğrusaldır ancak ve ancak her $a, b$ ve $f, g$ için

yani hem toplanabilirlik hem de homojenlik sağlanıyorsa. Doğrusal işlemler iyi anlaşılmış ve öngörülebilir oldukları için yaygın kullanılır. Doğrusal olmayan işlemlerin sonucu öngörmek zordur, genellikle kuramsal olarak iyi anlaşılmamışlardır ve sonuç genliğe bağlıdır.

Nokta işlemleri (slayt 2-7, s.24): her bir giriş pikselini tek bir çıkış pikseline eşler, $I_{out}(x,y) = f[I_{in}(x,y)]$. Kontrast iyileştirme, kontrast germe, gri seviye dönüşümleri olarak da bilinir ve yalnızca gri tonla sınırlı değildir (ör. sahte renklendirme). Konu Hafta 3'te ayrıntılı işleniyor.

2.9Renk temelleri ve renk modelleri

Renk algısı

Bir nesnenin rengi, o nesneden yansıyan ışığın doğasıyla belirlenir. Işık nesneye çarptığında, nesnenin malzemesine bağlı olarak bazı dalga boyları soğurulur, bazıları yansır. Yansıyan dalga boyları nesnenin rengi olarak algılanır. Örneğin beyaz ışıkla aydınlatılan yeşil bir nesne dalga boylarının çoğunu soğurur, yeşili (≈ 500–570 nm) yansıtır.

Gözde üç tür koni vardır: kırmızıya, yeşile ve maviye duyarlı. Göz bu üç ana rengi birleştirerek tüm renkleri ayırt eder. Beyin RGB sinyallerini ayrı bir parlaklık kanalına ve iki renk kanalına (ton ve doygunluk) dönüştürür. Bu yüzden renkli görüntüler üç bantla gösterilir, ama bu üç bant tek türlü değildir: R, G, B olabilir, L*, a*, b* de olabilir.

Parlaklık ve renklilik gösterimi

Rengi 1B parlaklık ve 2B renklilik (chrominance) cinsinden kodlamanın pek çok yolu vardır. Renklilik genellikle ton (hue) ve doygunluk (saturation) ile verilir. Belirli bir parlaklık değeri, renk küpünde parlaklığın sabit olduğu bir düzlem tanımlar. Bu düzlemdeki bir nokta gridir. Bir rengin doygunluğu, düzlemde o rengin gri noktaya uzaklığıdır. Ton ise aynı düzlemde kırmızıdan ölçülen açısal sapmadır.

RGB modeli

Renkli görüntüler üç yoğunluk haritasından oluşur. Her piksel üç elemanlı bir vektördür ve her renk 3B vektör uzayında bir noktaya karşılık gelir.

• R, G, B ışığın ana renkleridir (pigment değil): toplamsal (additive) model. Monitörler ve televizyonlar böyle çalışır.
• RGB uzayı gözün çalışma biçimine bağlıdır: üç tür koni, farklı dalga boylarına farklı tepki verir.
• Renkler, orijini (siyah) köşede olan bir küp içinde yer alır. Negatif değer olmadığı için küp ilk sekizde birlik bölgededir. Siyahtan beyaza giden köşegen gri çizgidir (R = G = B).
• Renk başına 8 bit (24 bit/piksel) ile $256^3 = 16\,777\,216$ farklı renk elde edilir. Renk uzayı ayrıktır.
• Ana renkler: kırmızı, yeşil, mavi. İkincil renkler: macenta (R+B), camgöbeği (G+B), sarı (R+G). R + G + B = beyaz.

RGB'den gri tona

İşlemeyi kolaylaştırmak için bazen her pikselde tek bir değer, yani yoğunluk isteriz:

• Basit ortalama: $i = \dfrac{r + g + b}{3}$
• Ağırlıklı ortalama: $i = a_1 r + a_2 g + a_3 b$, $a_1 + a_2 + a_3 = 1$. Göz yeşile daha duyarlı olduğu için yaygın formül:

MATLAB'deki rgb2gray aynı oranları kullanır: 0.2989, 0.5870, 0.1140.

HSV modeli

Farklı işler için farklı modeller vardır: renk analizi için HSV, baskı için CMYK, standart olarak CIE, TV yayını için YUV. Genellikle RGB ile aralarında dönüşüm yapılabilir; işe uygun olanı seçmek gerekir. HSV ışığa değil renge dayanır ve bir koni (altıgen koni) olarak gösterilir: koninin ucu siyah, tepesi ortası beyaz, kenarları canlı renkler olan bir renk çarkıdır.

RGB değerleri $[0,1]$ aralığına normalize edilmiş, $\max = \max(R,G,B)$, $\min = \min(R,G,B)$, $\Delta = \max - \min$ olsun:

RGB ile HSV arasındaki ilişki doğrusal değildir (slaytta “non-linear distortion”).

CMY ve CMYK

• Camgöbeği (cyan), macenta, sarı (ve siyah K): baskıda kullanılır. Çıkarmalı renklerdir: camgöbeği kırmızıyı, macenta yeşili, sarı maviyi soğurur.
• Karışımları RGB'yi verir: M + Y = R, C + Y = G, C + M = B. Kuramsal olarak C + M + Y = K (siyah), ama pratikte bulanık kahverengimsi bir renk çıkar. Bu yüzden ayrı bir gerçek siyah mürekkep (K) kullanılır.
• RGB ve CMY birbirinin tümleyenidir. Değerler $[0,1]$ aralığındaysa, ideal mürekkepler için:

Gerçek mürekkepler daha karmaşıktır, düzgün bir siyah gerektirir ve bu dönüşümü biraz zorlaştırır. Yaygın bir CMYK dönüşümü: $K = \min(C,M,Y)$, $C' = (C-K)/(1-K)$ (M ve Y için benzer).

Aynı rengin farklı eksen takımlarında farklı koordinatları vardır. Örneğin turuncu RGB'de (255, 165, 0), CMY'de (0, 90, 255)'tir.

YUV, YIQ ve YCbCr

YUV, bir parlaklık (luminance) bileşeni (Y) ve iki renklilik bileşeni (U, V) içeren her modelin genel adıdır. YIQ aynı fikrin NTSC'deki karşılığıdır, Y′CbCr ise YUV'nin özel bir örneğidir.

• YUV (PAL) televizyon sinyallerinde kullanılır. Y yoğunluktur. U mavi-sarı eksenini, V kırmızı-yeşil eksenini taşır.
• Renkli TV'nin renk bilgisi ile siyah-beyaz TV'nin parlaklık bilgisi kolayca ayrılabilir: siyah-beyaz TV yalnızca Y'yi kullanır.
• Görme sistemi yoğunluğa renkten daha duyarlıdır. Bant genişliği sınırlı olduğu için çoğu Y'ye ayrılır; renklilik bilgisinin bir kısmı görüntü kalitesi düşmeden atılabilir.

YUV ile RGB doğrusal denklemlerle ilişkilidir. Y'nin ağırlıkları gri ton dönüşümündekiyle aynıdır:

Hangi model ne zaman?

HSV = rgb2hsv(RGB);     RGB = hsv2rgb(HSV);
YCC = rgb2ycbcr(RGB);   YIQ = rgb2ntsc(RGB);
G   = rgb2gray(RGB);    CMY = imcomplement(RGB);    % 1 - RGB (double) / 255 - RGB (uint8)

2.10Geometrik dönüşümler

Filtreler ve nokta işlemleri yoğunluğu değiştirir, piksellerin konumu ve geometri aynı kalır. Geometrik işlemler ise görüntünün geometrisini değiştirir: öteleme, döndürme, ölçekleme… Uygulamalar: görüntüyü veya pencereyi istenen boyuta büyütmek; bilgisayar grafiğinde dokuları bükerek yüzeylere giydirmek; görüntü çakıştırma ve geometrik düzeltme.

Temel 2B dönüşümler

Homojen koordinatlar

Öteleme bir toplamadır, diğerleri ise çarpma. Hepsini tek tip bir matris çarpımı olarak yazmak için bir koordinat eklenir:

$(x,y)$'nin homojen koordinatlarda birden çok gösterimi vardır: $w=1$ için $(x,y,1)$, $w=2$ için $(2x, 2y, 2)$… Bu noktaların hepsi homojen koordinat uzayında orijinden geçen bir doğru (izdüşümsel doğru) üzerindedir. Genellikle $w = 1$ alınır.

Ardışık dönüşümler:

• Öteleme: $T(d_{x2}, d_{y2})\,T(d_{x1}, d_{y1}) = T(d_{x1} + d_{x2},\ d_{y1} + d_{y2})$, yani ötelemeler toplanır.
• Ölçekleme: $S(s_{x2}, s_{y2})\,S(s_{x1}, s_{y1}) = S(s_{x1}s_{x2},\ s_{y1}s_{y2})$, yani çarpanlar çarpılır.
• Döndürme: $P'' = R(\theta_2)R(\theta_1)P = R(\theta_1 + \theta_2)P$, yani açılar toplanır.

Dönüşümlerin birleştirilmesi

Bir dizi dönüşümün matrisleri tek bir dönüşüm matrisinde birleştirilebilir: $P' = M_n \cdots M_2 M_1 P$. En sağdaki matris önce uygulanır.

Genel dönüşüm matrisi

Sol üstteki $2\times 2$ blok döndürme, ölçekleme ve kaymayı; $a_{13}, a_{23}$ ötelemeyi taşır. Bir dizi dönüşümü tek matrisle göstermek daha verimlidir: kaç dönüşüm birleştirilmiş olursa olsun nokta başına yalnızca 4 çarpma ve 4 toplama gerekir.

Dönüşüm hiyerarşisi

• Rijit dönüşümde sol üst $2\times2$ blok ortonormaldir. $u_1 = (r_{11}, r_{12})$ ve $u_2 = (r_{21}, r_{22})$ satırları için $u_1\cdot u_1 = u_2 \cdot u_2 = 1$ ve $u_1 \cdot u_2 = 0$. Döndürme matrisinde: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, $\cos\theta\sin\theta - \sin\theta\cos\theta = 0$.
• Afin eşleme (“3 nokta eşlemesi”): doğruları doğrulara, üçgenleri üçgenlere, dikdörtgenleri paralelkenarlara, paralel doğruları paralel doğrulara götürür. Doğru üzerindeki uzaklık oranları değişmez. 6 parametre, 3 nokta çiftiyle tek türlü belirlenir. Bazı varsayımlar altında perspektif izdüşümünün etkisine yaklaşmak için kullanılabilir.
• İzdüşümsel dönüşümde son satır $[0\ 0\ 1]$ değil, $[v_1\ v_2\ 1]$'dir. Bu yüzden $x' = \dfrac{a_{11}x + a_{12}y + a_{13}}{v_1 x + v_2 y + 1}$ olur. 8 parametre, 4 nokta çiftiyle belirlenir.
• Dönüşüm matrisinin tersi, ters eşlemeyi verir.

Görüntülerde uygulama: ters eşleme ve interpolasyon

Görüntü koordinatları yalnızca ayrık değerler alabildiği için bazı dönüşümler tamsayı olmayan $(x', y')$ verir. Çözüm komşu değerlerden interpolasyon yapmaktır.

Çevirme ve 90° döndürme interpolasyon gerektirmez. Temel fikir, mevcut adres yerine dönüştürülmüş piksel adresine bakmaktır (koordinatlar $[0,1]$ aralığına normalize edilmiş, y yukarı):

Doğrusal olmayan bükmeler

Görüntü bükme (warping): bir fonksiyonla görüntünün başka bir yerindeki hangi pikselin okunacağı seçilir, ör. $x \leftarrow x + y \sin(\pi x)$. Aşağıdaki üç dönüşüm ters eşleme olarak verilmiştir: $(x', y')$ çıkış konumu, $(x,y)$ okunacak kaynak konumdur. Merkez $(x_c, y_c)$, $d_x = x' - x_c$, $d_y = y' - y_c$, $r = \sqrt{d_x^2 + d_y^2}$.

J = imrotate(I, 30, 'bilinear', 'crop');   % pozitif açı = saat yönünün tersi
J = fliplr(I);  J = flipud(I);  J = rot90(I);  % interpolasyonsuz çevirme/döndürme
A = [cosd(30) -sind(30) 0; sind(30) cosd(30) 0; 0 0 1];
tform = affinetform2d(A);                     % R2022b ve sonrası; sütun vektörü kuralı
J = imwarp(I, tform, 'cubic');                % ters eşleme + interpolasyon

2.11Haftanın özeti ve kendini test et